Материал: Математическое моделирование в экологии

Θ. Поэтому более информативный способ оценки неизвестных пара- метров состоит не в определении единичного точечного значения, а в построении интервала, в котором с заданной степенью достоверности окажется оцениваемый параметр, т.е. в построении так называемой интервальной оценки параметра Θ.

Интервальной оценкой параметра Θ называется интервал, границы которого Θ_b1 и Θ_b2 являются функциями выборочных значений х₁, х₂, ... х_n и который с заданной вероятностью накрывает оцениваемый параметр Θ

где α - уровень значимости.

Интервал (Θ_b1, Θ_b2) называется доверительным, его границы Θ_b1

иΘ_b1 являющиеся случайными величинами, соответственно нижним и верхним доверительными пределами. Любая интервальная оценка может быть охарактеризована совокупностью двух чисел: шириной доверительного интервала Н = Θ_b1 - Θ_b2, являющейся мерой точности оценивания параметра Θ, и доверительной вероятностью у, характеризующей степень достоверности (надежности) результатов, Чаще всего в расчетах используется величина у равная 0,9; 0,95 и реже 0,8; 0,85; 0,99; 0,999.

Общая процедура получения интервальной оценки состоит в следующем:

1. Записывают определенное вероятное утверждение вида

где f(g) — функция распределения плотности вероятностей случайной величины g. При этом значения δ₁ и δ₂ определяют обычно с учетом дополнительных условий

2. Аргумент g преобразуют так, чтобы в окончательном виде оцениваемый параметр оказался заключенным между величинами, определяемыми по выборке. Это и будут границы доверительного интервала (Θ_b1, Θ_b2). Функцию g(Θ, Θ_b2) выбирают таким образом, чтобы она допускала подобное преобразование и имела известную (лучше табулированную) функцию плотности вероятностей f(g). Последнее обстоятельство существенно упрощает определение значений δ₁ и δ₂.

В качестве примера получим интервальную оценку математи- ческого ожидания М(х) нормальной генеральной совокупности с известной дисперсией D(x). Известно, что функция

подчиняется нормированному нормальному распределению

(см. приложение 1). Тогда можно записать:

После преобразования аргумента получим:

Следовательно, для данного случая:

а ширина доверительного интервала

Для нормально распределенной случайной величины доверительный интервал определяется по формулам:

• если теоретическое значение дисперсии неизвестно, то для математического ожидания доверительный интервал будет иметь вид:

где k — число степеней свободы, k = n - 1;

t_a,k — табличное значение критерия Стьюдента, определяемое по таблице, приведенной в приложении 2;

• для теоретической дисперсии

где k = n – 1, χ ²_{k;α /2}, χ ²_{k;1-α /2} - нижнее и верхнее значения критерия

Пирсона при заданных k и α/2, определяемое по таблице, приведенной в приложении 3.

Используя интервальные оценки, можно определить объем выборки, задаваясь точностью оценки. Если оценивается математическое ожидание, то точность оценки будет равна

При заданном значении δ и D(x) объем испытаний будет равен

При неизвестном D(x) объем испытаний определяется по фор- муле

Если оценивать дисперсию D(x), то, задаваясь значением δ_g, можно использовать уравнение

затем с помощью таблиц χ ² распределения (см. приложение 3) подо- брать такое соотношение в левой части неравенства, чтобы оно удовлетворяло правую часть, и затем определить объем испытаний n = k+L.

Доверительный интервал для генеральной доли P устанавливается по формуле

где P_b — выборочная доля;

U_a/2 — критерий, выбираемый по таблице (см. приложение 4, при U_a/2= x).

Величина U_a/2, вычисляется по формуле

Откуда

где S_pf – ошибка выборочной доли.

Если вместо доли в качестве оценки генерального параметра используется процентная частота, то ее ошибка вычисляется по формуле

Границы доверительного интервала p+UpS ~ для генеральной доли устанавливаются с достаточной точностью в тех случаях, когда выборочные доли равны или не сильно отклоняются от 50% численности групп. Если же выборочные доли не равны (75% < р < 25%) и тем более близки к нулю и единице, довери- тельные границы для генеральной доли следует определять с по- мощью вспомогательной величины < р,

Эта величина, предложенная Р.Фишером, имеет распределение, близкое к нормальному. Ее параметром служит выборочная ошибка, равная .

Значения φ зависят только от р.

Для практического использования этой величины служит таблица, приведенная в приложении 5, в которой содержатся значения φ для разных значений доли р, выраженной в процентах.

Пример. Из общего числа 5800 чел., проживающих в населен- ном пункте, методом случайного отбора обследовано 1500 лиц, среди которых обнаружено 200 больных.

Доля больных

или 13%

Ошибка доли

или 8%

Для доверительной вероятности γ=0,9 величина U_α/2=1,96=2. Тогда доверительный интервал

Отсюда с вероятностью 0,90 следует заключить, что генеральная доля находится между Р_верх. = 0,15 и Р_ниж. = 0,11. Так как генеральная доля меньше 25%, исправим доверительный интервал с по- мощью величины rp. Для доли больных

для Р%=13,0025 величина φ > 0,738 (см. приложение 5). Определим S_pf

Отсюда границы для доверительного интервала р равны:

• нижняя 0,738 — 2 х 0,07 = 0,601;

• верхняя 0,738+ 2 х0,07 = 0 875.

Переводим значения р в исходные величины по таблице (см. приложение 5): = 8,8% и =18,0%. Это значит, что с вероятностью Р = 0,90 можно утверждать, что доля больных в населенном пункте при данных условиях не должна выйти за пределы 8,8% — 18% от общего числа жителей.

4.4. Статистические оценки гипотез об экологических моделях

Построенные экологометрические модели требуют оценки их достоверности. При выполнении статистических исследований полученные данные тщательно анализируются на предмет удовлетворения их предположения о независимости случайных наблюдений, симметричности распределения, из которого получена выборка, равенства дисперсии ошибок, одинаковости распределения нескольких случайных величин и т.д. Все эти предположения могут рас- сматриваться как гипотезы, которые необходимо проверить. Понятие «статистическая гипотеза» — более узкое, чем общее понятие «научная гипотеза». Статистические гипотезы охватывают поведение наблюдаемых случайных величин.

Статистическая гипотеза, являющаяся утверждением о значениях параметров конкретного вероятного распределения некоторой случайной величины (например, о средней дисперсии) называется параметрической.

Статистическая гипотеза является:

а) утверждением о некоторых свойствах вероятности распределений исследуемых случайных величин, (например, симметричности распределения, совпадения функций распределения двух и более случайных величин, принадлежности выборки к данному классу вероятностного распределения);

б) независимым от вида вероятности распределения утверждением о параметрах случайных величин, например, равенстве двух или более средних арифметических или дисперсии (при неизвестных вероятностных распределениях этих случайных вели- чин), относится к параметрическим гипотезам. Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистических критериев.

Выдвигаемая гипотеза, которую необходимо проверить, называется нулевой и обозначается H₀. Гипотеза, которая противопоставляется нулевой, называется альтернативной и обозначается Н₁. Выделение нулевой гипотезы состоит в том, что H₀, обычно рассматривается как утверждение, которое более важно, если оно отвергнуто. Это основано на общем принципе, согласно которому теория должна быть отвергнута, если есть противоречащий пример, но не обязательно должна быть принята, если такого примера найти нельзя.