Материал: Математическое моделирование в экологии

Гипотеза Н₀ принимается при условии |Т_b| < t_a,k, где t_a,k — табличное значение критерия Стьюдента при заданном уровне значи- мости а и числе степеней свободы K= n_x+n_y-2 (см. приложение 2). При |Т_b| <t_a,k гипотеза Н₀ отклоняется и принимается альтернативная гипотеза Н₁: М(х) w М(у).

Пример. При исследовании местности случайным образом были отобраны 16 участков (n_x=16) и установлено среднее число пораженных болезнью растений = 350 с дисперсией =16. Проверить, является ли расхождение среднего числа пораженных растений случайным или же болезнь пошла на убыль.

Решение. Выдвигаем гипотезу Н;. М(х) = М(у) при уровне значимости а = 0,05 и определяем статистику Т_b

По таблицам (см. приложение 2) находим

T_0.05;16+20-2=t_0.05;34 = 2.03.

Сравниваем Т =1,188 < 1_0.05;34=2,03.

Следовательно, принимаем гипотезу Н₀: М(x) = M(у), т.е. различие в среднем числе пораженных растений, измеренном в различные моменты времени, в данном случае объясняется случайностью выборок.

3. Если выборка объемом n сделана из генеральной совокупно- сти нормально распределенных величин х с известными М(х) = а_k, D(x) = а², то при уровне значимости а можно проверить гипотезу Н₀: a = a₀ — предполагаемое значение математического ож идания. Предложение о величине а_о делается либо по результатам выборки n, либо по имеющейся априорной информации о генеральной совокупности.

Для проверки гипотезы Н₀: а=а₀ вычисляется статистика и_b при конкурирующей гипотезе Н₁: a ≠ а_о

Критическое значение и_α определяется по таблице (см. приложение 1) по заданному значению , как

Гипотеза Н₀ принимается при условии

альтернативная гипотеза Н₁: а ≠ а₀ принимается при условии

Пример. Разработанная схема очистки промышленных стоков дает экономический эффект 88 руб. с 1т при среднем квадратическом отклонении

=5 руб./т. Обследовано сто очистных сооружений (n =100) и определен средний экономический эффект = 90 руб./т. Требуется при уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу Н₀: а ≠ а₀.

Р е ш е н и е. Определяем статистику и_b

По таблице (см. приложение 1) находим и_a

откуда u_0,05 = 1,96. Сравниваем u_b = 4 >u_0,05 = 1,96.

Следовательно, гипотеза Н₀: а = а₀ отклоняется, т.е. выбороч- ное и гипотетическое среднее различаются значимо.

4. При неизвестной дисперсии D(x) проверка гипотезы Н₀: а ≠ а₀, при конкурирующей гипотезе Н₁: а ≠ а₀ проводится с помощью статистики

где и S² — соответственно выборочные средние и дисперсия.

Критические значения статистики t_a,k при заданном уровне значимости а и числе степеней свободы k = n - 1 выбирается по таблице (см. приложение 2).

Если Т_b< t_a,k, то тогда принимается гипотеза Н₀, при Т_b >t_a,k гипотеза Н₀ отклоняется и принимается гипотеза Н₁.

5. Имеется k выборок (k >2) из нормальных генеральных совокупностей с равными, но неизвестными дисперсиями. Необходимо проверить гипотезу о равенстве средних Н₀: а₁ =а₂ = ... =а_k при заданном уровне значимости α. Альтернативная гипотеза Н₁ гово- рит о том, что средние различны.

Для проверки гипотезы Н₀ вычисляем статистику

где

Гипотеза Н₀принимается при

и отвергается при

где — табличное значение критерия при уровне значимости α и степенях свободы р₁ = k — 1; р₂ = n — k которое выбирается по таблице (см. приложение 6).

Пример. Имеется три выборки (k = 3), n₁ = 3, n₂ =4, n₄=5 (n =12).

Вычисленное значение F_b = 0,43.

Решение. При α =0,05: р₁= 3 - 1= 2; р₂ = 12 - 3 = 9;

F_1-0,05;2,9 = 4,26. Тогда F_b = 0,43 < F_1-0,05;2,9 = 4,26, т.е. гипотеза о равенстве средних должна быть принята.

Проверка статистических гипотез о равенстве дисперсии. Дисперсии играют в экологии очень важную роль, поскольку измеряемая дисперсией величина рассеивания характеризует такие важные показатели, как колебание точности тех или иных технологических процессов, например, зараженности различных участков местности, загрязненности участков водоемов и т.д. Средняя величина как бы сглаживает эти колебания, а дисперсия их выявляет.

Для проверки гипотез о равенстве дисперсий в различных генеральных совокупностях по независимым выборкам необходимо знать такую функцию статистических оценок, распределение которой не зависело бы от каких-либо неизвестных параметров.

Предположим, что независимые случайные величины х₁, х₂, ..., х_n1, распределены по закону F(x) с параметрами М(х) и D(x), которые известны. Имеются также независимые нормально распределенные F(y) случайные величины у₁, у₂, ..., у_n1 параметры M(y) и D(y) кото- рых также известны. Нужно проверить гипотезу Н₀: о равенстве D(x)=D(y), предполагая, что эти два множества Х и У независимы. При малых и средних объемах выборок для проверки гипотезы Н₀: D(x) = D(y) используется статистика

где и — дисперсии, определяемые по выборкам n_x и n_y, причем в

числитель ставится большая из двух дисперсий и .

Выборочное значение F_b сравнивается с критерием Фишера при заданном уровне значимости α и числах степеней свободы k₁ = n_x - 1; k₂ = n_y - 1. Справедливость гипотезы Н₀ подтверждается при условии

F_b ≤

значение определяется по таблице (см. приложение 6).

При F_b > гипотеза Н₀ отвергается и принимается аль- тернативная гипотеза Н₁: D(x) ≠ D(y).

Пример. Для проверки точности дозировки двух автоматов при упаковке химического вещества отобраны от первого автомата 21 проба (n_x = 21), от второго — 15 (n_y = 15). По отобранным пробам , определены выборочные среднеквадратические отклонения в дозировке S_x = 20г, S_y = 15г. Проверить гипотезу о том, что автоматы имеют одинаковую точность, т.е. Н₀: D(x) = D(y), при уровне зна- чимости α = 0,10 и конкурирующей гипотезе Н₁: D(x) ≠ D(y).

Решение. Вычисляем выборочную статистику

=

По уровню значимости, а = 0,10 и числу степеней свободы k₃ = n_x — 1;

k_M= n_y — 1, т.е. k₃ = 14; k_M= 20 находим по таблице F_1-a/2;14,20 = 2,23 (см. приложение 6). Сравниваем

F_b = 3,06 > F_1-a/2;14,20 = 2,23.

Следовательно, гипотезу Н₀ о равной точности автоматов отвергаем, так как разницу в дозировке химического вещества нельзя объяснить случайностью.

При больших объемах выборки статистику F_b можно определять по формуле:

где .

При проверке гипотезы Н_о: D(x) = D(y) сравнивают F'_b и U_1-a/2, где — уровень значимости; U_1-a/2 — квантиль уровня (1 — а/2) стандартного нормального распределения (см. приложение 1). При F'_b < U_1-a/2,

где Ф(U_1-a/2) = 1 — а/2 и х = U_1-a/2, гипотеза Н₀ принимается, в противном случае, когда F'_b ≤ U_1-a/2, Н₀ отвергается и принимается гипотеза Н₁: D(x) ≠ D(y).

Если взята одна выборка n из генеральной совокупности, для которой предполагаемое значение дисперсии равно , хотя сама дисперсия D(x) неизвестна, то можно проверить при заданном уров- не значимости гипотезу Н₀: D(x) = , при альтернативной гипоте- зе Н₁: D(x) ≠ . Для проверки гипотезы Н_о определяют статистику