Материал: ПОСОБИЕ_НОВИКОВ

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

- обобщенная функция (или распределение).

2. Единичный импульс, задержанный на отсчетов:

(8.7)

3. Единичный скачок :

(8.8)

Существует связь между единичным скачком и единичным импульсом:

. (8.9)

4. Экспонента :

(8.10)

5. Косинусоида :

. (8.11)

Произвольные последовательности легко выражаются через основные последовательности (единичный импульс, используязадержку и масштабирование):

если

,

то эту последовательность, используя (8.7), можно представить

. (8.12)

8.2.2. Линейные системы с постоянными параметрами

Дискретная система по существу является алгоритмом преобразования одной последовательности (входной) в другую (выходную)

,

где - оператор, его вид зависит от свойств конкретной системы.

Соответствующая схема может быть представлена в виде, приведенном на рисунке 8.1.

8.2.2.1. Определение линейной системы

Если ,- входные последовательности,,- выходные последовательности, и- константы, то в линейной системе имеет место

. (8.13)

8.2.2.2. Определение системы с постоянными параметрами

Если - входная последовательность и- соответствующая выходная последовательность, то входной последовательностипри любыхсоответствует на выходе последовательность.

В линейной системе с постоянными параметрами входная и выходная последовательности связаны соотношением типа свертки.

Пусть

- входная последовательность;

- соответствующая выходная последовательность;

- отклик системы на единичный импульс (импульсная характеристика системы).

Используя (8.12), можно последовательность представить

.

Поскольку - отклик системы на последовательность, а

параметры системы постоянны, то - есть отклик на последовательность.

Из свойств линейности следует, что откликом на последовательность должна быть последовательность. Поэтому отклик набудет

. (8.14)

Он имеет вид свертки, что и доказать.

Простой заменой переменных выражение (8.14) может быть преобразовано к виду

. (8.15)

Это может быть отражено схемой

8.2.3. Разностные уравнения

В общем случае линейное разностное уравнение порядка M с постоянными коэффициентами имеет вид

, (8.16)

где описывают конкретную систему, причем.

8.2.3.1. Решение разностных уравнений методом прямой подстановки

Уравнение (8.16) записано в виде, удобном для решения методом прямой подстановки. Имея набор начальных условий (например, дляi=-1, -2, …, -M) и входную последовательность по формуле (8.16)т можно непосредственно вычислить выходную последовательностьдля.

Пример.

Дана последовательность

Разностное уравнение имеет вид

(8.17)

с начальными условиями.

Данное уравнение можно решить подстановкой, что дает:

8.2.3.2. Решение разностных уравнений в явном виде

Хотя решение разностного уравнения подстановкой и целесообразно в некоторых случаях, значительно полезнее получить решения в явном виде.

Основная идея сводится к получению двух решений разностного уравнения: однородного и частного.

Однородное уравнение получается путем подстановки нулей вместо всех членов, содержащих элементы входной последовательности и определение отклика при нулевой входной последовательности.

Частное решение получается из подбора вида последовательности навыходе при заданной входной последовательности . Для определения произвольных постоянных однородного решения используются начальные условия.

Пример.

Решить уравнение (8.17) этим методом.

Однородное уравнение имеет вид

(8.18)

Известно, что характеристическими решениями однородных уравнений, соответствующих линейным разностным уравнениям с постоянными коэффициентами, является решение вида . Поэтому, подставляя вместов (8.18),получим

Отсюда однородное решение имеет вид

. (8.19)

Частное решение, соответствующее входной последовательности , попробуем найти в виде

. (8.20)

Из уравнения (8.16) получаем

.

Поскольку коэффициенты при равных степенях в левой и правой частях уравнения должны совпадать, то из получаемой системы (трех уравнений) находим три искомых коэффициента:.

Таким образом, общее решение имеет вид:

, (8.21)

В этом выражении коэффициент находится из начального условия.

Тогда из (8.21) получим

(8.22)

Проверка решения (8.22) при показывает полное совпадение с приведенным выше прямым решением.

Преимущество решения (8.22) заключается в том, что оно позволяет весьма просто определить для любого конкретного.

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/284677

Смотрите также:

Административное расследование
Внутренняя картина здоровья у студентов: когнитивный аспект детерминации
Внутритробная ультразвуковая диагностика врождённых аномалий
Задачи - бактериальные менингиты Королева
лабораторная 7 - Управление пользователями в операционной системе LINUX (автовосстановление)
Муниципальное управление в сфере здравоохранения
Практическая Акинфеева
Соотношение некоторых преступлений 34 главы Уголовного кодекса Российской Федерации с преступлениями против военной службы
Социальные конфликты в современном обществе
Экономический расчет участка