Документ: ПОСОБИЕ_НОВИКОВ, страницы 179-183

Сигналы АЦП и ЦАП квантованы по уровню, вследствие чего система управления непрерывным объектом с компьютером в контуре относится в общем случае к классу дискретных нелинейных систем.

Однако, если разрядность преобразователей достаточно велика, то можно пренебречь квантованием сигналов по уровню, заменив нелинейные статические характеристики АЦП и ЦАП линейными и введя при этом коэффициенты передачи

где - приращение аналоговой величиных на входе АЦП, соответствующее изменению выходной величины х^* на одну дискретную единицу;

где - приращение выходного сигнала ЦАП при изменении на одну дискретную единицу входного сигналаu^*.

Тогда математическое описание всей системы с компьютером в контуре регулирования может быть представлено линеаризованной структурной схемой, приведенной на рис. 8.7,

гдеW_p(z) – передаточная функция цифрового фильтра при описании алгоритма его работы в области комплексной переменной z;

W_ЭО(s) – передаточная функция экстрополятора нулевого порядка;

W_оу(s) - – передаточная функция объекта управления;

e^-^sτ – звено чистого запаздывания, учитывающее, что на вычисление управляющего воздействия в соответствии с передаточной функцией фильтра W_p(z) процессор затрачивает время τ

Таким образом объект управления описывается системой дифференциальных уравнений или передаточными функциями в области комплексного аргумента s, а алгоритм работы компьютера - разностными уравнениями или передаточными функциями в области аргумента z дискретного преобразования.

Могут быть использованы два подхода к проектированию цифрового фильтра.

Первый подход основан на синтезе непрерывного регулятора с последующим пересчетом его к цифровому аналогу.

При втором подходе дискретной аппроксимацией заменяется описание непрерывного объекта, в результате чего вся система оказывается описанной в области комплексной переменной z, а алгоритм работы цифровой части определяется в результате синтеза дискретной системы.

Наиболее распространенным является первый подход, поскольку он гармонично вытекает из классических методов исследования систем.

Таким образом, если исходное описание линейной системы непрерывно, то часто можно перейти к дискретному ее описанию.

Наиболее распространенным методом расчета цифровых фильтров является метод дискретизации аналогового фильтра [14].

Рассмотрим несколько методов преобразования (т.е. дискретизации) существующего аналогового фильтра в эквивалентный ему цифровой фильтр.

Пусть передаточная функция аналогового фильтра (представляющая собой преобразование Лапласа от импульсной характеристики) имеет вид

, (8.34)

причем коэффициенты ,(- нули,- полюсы) известны.

Соответствующее дифференциальное уравнение фильтра (8.34) имеет вид

, (8.35)

где ,- колебания на входе и выходе аналогового фильтра.

8.3.2 Методы дискретизации аналоговых фильтров

Наиболее распространенными методами дискретизации аналогового фильтра с передаточной функцией вида (8.34) являются следующие:

- метод отображения дифференциалов;

- метод инвариантного преобразования импульсной характеристики;

- метод билинейного преобразования;

- метод согласованного z –преобразования.

8.3.2.1. Метод отображения дифференциалов

Это один из наиболее простых методов дискретизации. Заключается в замене дифференциалов в ее дифференциальном уравнении на конечные разности, что позволяет получить разностное уравнение, аппроксимирующее исходное дифференциальное уравнение.

При этом производится замена дифференциалов простыми разностями путем подстановки типа

или (8.36)

и непосредственно переходят от рациональной передаточной функции от к рациональной передаточной функции от.

При этом, однако, характеристики аналогового фильтра не сохраняются. Поэтому данный метод применяется редко.

8.3.2.2. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики

Разложим передаточную функцию фильтра (8.34) на простые дроби

где - полюсы;

Переход от косуществляется с помощью отображения, при котором используется замена

. (8.37)

8.3.2.3. Метод билинейного преобразования

При этом используется замена

, (8.38)

что приводит к связи между передаточными функциями к

Это простое конформное отображение -плоскости в-плоскость, свободное от недостатков первого метода и в то же время сохраняет удобную алгебраическую форму преобразования.

8.3.2.4. Метод согласованного z –преобразования

При этом методе отображающая замена будет иметь вид

. (8.39)

Метод прост, но во многих случаях не применим из-за искажения во многих случаях положения нулей цифрового фильтра.

8.3.2.5. Универсальный метод

При переходе к дискретному времени в передаточной функции системы нужно произвести замену [6]

. (8.40)

Метод прост и дает быстрый результат.

8.3.3. Геометрическая интерпретация методов расчета цифровых фильтров по фильтрам непрерывного времени

Как отмечено выше, определение параметров цифрового фильтра осуществляется путем пересчета параметров непрерывного фильтра.

Идея такой замены можно пояснить рис. 8.8. Здесь замкнутая система с непрерывным объектом управленияc передаточной функцией W₀(s) и синтезированным непрерывным фильтром с передаточной функцией W_ф(s) (рис. 8.8, а) преобразовывается в систему с цифровым фильтром W_ф(z) и фиксатором вычислений ЦАП с передаточной функцией (рис. 8.8, б).

Преобразование базируется на представлении интеграла суммой. Эта сумма может быть вычислена различными способами.

Прямой метод Эйлера.

Прямой метод Эйлера демонстрируется рис. 8.8.

Значение выходного сигнала x(t) в момент t=nT здесь находится из выражения

. (8.41)

При подстановке оператора задержки (см. (8.31)) в выражение (8.41) получим:

. (8.42)

Из (8.42) следует, что сигнал на выходе может быть представлен в виде:

. (8.43)

Таким образом, при использовании прямого метода Эйлера осуществляется замена переменной оператора интегрирования через оператор задержки. Соответствующее выражение замены имеет вид: