Документ: ПОСОБИЕ_НОВИКОВ, страницы 37-41

Из анализа представленных на рисунке 3.4 методов достаточно ясно следует, что использование любого из них имеет свои преимущества и недостатки. И использование того или метода зависит от того, чем располагает исследователь при решении поставленной задачи.

3.3. Классификация математических моделей

Математическая модель или оператор системы (системный оператор) – это формальное (количественное) описание системы с помощью математических средств: дифференциальных, интегральных, разностных, алгебраических уравнений, - а также неравенств, множеств и т.д.

Пользуясь понятием системного оператора, можно на единой основе рассмотреть понятие математической модели.

Пусть U и X – множество входных и выходных сигналов системы. Если каждому элементу u  U ставится в соответствие определенный элемент x  X, то говорят, что задан системный оператор.

Связь между входом и выходом задается посредством системного оператора. A:

A x = u и x= A^-1 u (*)

Уравнение (*) с оператором A следует считать математической моделью, поскольку оно устанавливает количественную связь между входом u(t) и выходом x(t) системы.

В зависимости от того, какими классами дифференциальных уравнений описываются системы, их можно классифицировать так, как показано на рисунке 3.5.

Детерминированными называются модели, в которых все параметры являются детерминированными (неслучайными).

Вероятностными считаются модели, в которых все или часть параметров носит случайный характер.

Модели относятся к моделям с сосредоточенными параметрами, если поведение систем описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Модели относятся к моделям с распределенными параметрами, если поведение систем описывается дифференциальными уравнениями в частных производных.

Линейными называются математические модели, которые описывают поведение системы линейными операторными уравнениями, в противном случае модели – нелинейные.

Модель одномерна, если векторы входа и выхода одномерные, иначе – многомерна.

Односвязные модели содержат один оператор A (в моделях по входу-выходу) либо пару операторов F и G (в моделях в пространстве состояний).

Соответственно многосвязные модели содержат несколько операторов A и несколько пар операторов F и G.

Аналитическиемодели дают описание процессов, происходящих в системе в виде некоторых функциональных соотношений.

Численные модели дают результаты в виде частных численных решений характеристик системы.

Имитационные модели служат для воспроизведения процесса функционирования сложных систем. Основное преимущество имитационных моделей - это решение задач исключительной сложности. Имитационные модели дают решения частного характера, отвечающие фиксированным значениям параметров системы, входной информации и начальным условиям.

3.4. Методы формализованного описания системы

С учетом замены реальной системы математическим описанием, т.е. системой дифференциальных или разностных уравнений, возникает необходимость для описания поведения системы в любой момент времени.

3.4.1. Математическая модель по “входу-выходу”

Математическая модель считается по “входу-выходу”, если она описывает отображение входных воздействий в выходные и может быть в общем виде представлена уравнениями

Y = A(X, p),

где X, Y – векторы входных и выходных воздействий;

A – некоторый оператор модели, имеет различную природу (может быть оператор свертки, либо некоторая характеристика)

p – вектор параметров модели.

3.4.2. Математическая модель в пространстве состояний

Модели в пространстве состояний – это те, которые описывают не только отображение системой входного сигнала, но и ее внутреннюю структуру.

Для этого удобно использовать единую математическую характеристику – переменную состояния.

Начиная с 60-х годов XX столетия все более популярной становилась форма описания систем управления в пространстве состояний, когда исходные соотношения, описывающие объект управления, представлены в форме Коши, или, что то же самое, в виде системы дифференциальных или разностных уравнений первого порядка.

Состояние системы является основным исходным понятием.

В большинстве практических приложений объекты управления описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями или разностными уравнениями разных порядков, которые легко сводятся к системе дифференциальных или разностных уравнений первого порядка

(3.1)

Здесь вектор X характеризует состояние системы, а вектор U описывает внешние воздействия. Через t и n обозначены переменные непрерывного и дискретного времени соответственно. Компонентами вектора состояния X могут быть физические величины.

Вектор X(0) представляет собой минимальный набор величин (x₁(0), x₂(0),…, x_n(0))^Т однозначно характеризующий рассматриваемый объект в данный момент времени t₀ и позволяющий при известных входных воздействиях U(t), t[t₀, t_k] получить такой же набор X(t) для любого момента времени в интервале t[t₀, t_k].

При изменении времени конец вектора состояния описывает в пространстве состояний кривую, называемую траекторией вектора состояния.

Выходные координаты описываемого объекта Y(t), Y(n) могут отличаться от координат вектора состояния и связаны с последним некоторым отображением

(3.2)

Число выходных координат объекта обычно много меньше размерности вектора состояния. Поэтому описание в пространстве состояний называют внутренним описанием в отличие от внешнего описания в переменных “вход-выход”.

3.4.3. Описание линейных систем в пространстве состояний

Уравнение (3.1) для случая линейной непрерывной системы можно свести к следующим стандартным уравнением состояния

, (3.3)

где X(t) – вектор состояния системы;

U(t) - вектор управления (входа);

Y(t) - вектор выхода (наблюдения) системы.

- матрица состояния;

- матрица входа (управления);

и D - матрицы выходных координат (матрицы наблюдения).

В общем случае размерности векторов и матриц при описании в пространстве состояний таковы:

, ,,,,. (3.4)

Уравнениям (3.3) отвечает структурная схема на рисунке 3.6

Вместо (3.3) используется также сокращенное обозначение (A, B, C, D).

Матрицы в общем случае A, B, C, D зависят от времени. В этом случае система называется нестационарной.

В стационарных системах A, B, C, D – постоянные, не зависящие от времени матрицы.

Модель (3.3) является одной из распространенных моделей САУ при описании их поведения в пространстве состояний (понятия модель в пространстве состояний и модель в переменных состояния идентичны).

Уравнения состояния дискретных систем принципиально не отличаются от приведенных выше (3.3), в них вместо производных фигурируют конечные разности. Соответствующие уравнения идентичны приведенным выше, в них лишь дифференциалы должны быть заменены на разности.

Пример 1.

Поясним введенные понятия на примере САУ второго порядка с уравнением

Материал: ПОСОБИЕ_НОВИКОВ

3.3. Классификация математических моделей

3.4. Методы формализованного описания системы

3.4.1. Математическая модель по “входу-выходу”

3.4.2. Математическая модель в пространстве состояний

3.4.3. Описание линейных систем в пространстве состояний

Смотрите также: